یک ذهن زیبا: مریم میرزاخانی

در ماجراهای«ساندراها و وو»، کمیک‌استرپ سریالی کودکانه‌ای به قلم اولیور کنورزر و پوری آندینی، ماجرایی به چشم می‌خورد با عنوان «رؤیاهای بلندپروازانه». «وو» راکونی (که حیوان خانگی ساندراست) از او می‌پرسد: «وقتی بزرگ شدی می‌خوای چه‌کاره بشی؟» و ساندرا در جواب می‌گوید: «همیشه رؤیام این بوده که یک استاد ریاضی بشم. وو در جواب می‌گوید: «ریاضی؟ خیلی سخت نیست؟ من که همیشه سختمه چهار رو از پنج تشخیص بدم، چه به رسه به پنج از شیش.» ساندرا می‌گوید: «اگه استعدادش رو داشته باشی، ریاضی دیگه اینقدرها هم سخت نیست. بالاخره یه روز می‌رسه که اسم نورث [نام خانوادگی ساندرا] هم در ردیف نیوتن، گاوس، و تورینگ برده می‌شه».

در همین بین، ساندرا به خیالات‌اش فرومی‌رود که در آن یک استاد ریاضیات، به او می‌گوید: «خانم نورث، مفتخرم که شما را به‌عنوان نخستین برنده زن مدال فیلدز در تاریخ اعلام کنم». ساندرا از رؤیا می‌پرد و نومیدانه با خودش می‌گوید: «توی امتحان هفته قبل، فرمول معادله درجه دوم هم یادم رفت...»

چه بسا روزی نام ساندرا نورث هم در ردیف برندگان مدال فیلدز اعلام شود؛ اما قطعاً او دیگر «نخستین برنده زن» این مدال در تاریخ نخواهد بود، چراکه بامداد چهارشنبه به وقت ایران، در آیین گشایش بیست و هفتمین کنگره بین‌المللی ریاضیات (ICM) در شهر سئول، پایتخت کره جنوبی، چنین افتخاری به نام مریم میرزاخانی، استاد ریاضیات دانشگاه استنفورد به ثبت رسید.

مدال فیلدز، که از آن به‌عنوان «مدال دستاوردهای برجسته در ریاضیات» هم یاد می‌شود و نام‌اش را از جان چارلز فیلدز، ریاضیدان کانادایی اخذ کرده، از سال ۱۹۳۶، هر چهار سال یک‌بار به دو تا چهار ریاضیدان زیر ۴۰ سالی که به دستاوردهای شاخصی در حوزه ریاضیات رسیده‌اند اعطاء می‌شود.

میرزاخانی با ۳۷ سال سن، امسال آخرین شانس دریافت چنین جایزه‌ای را داشت؛ جایزه‌ای با ارزشی برابر با پانزده‌هزار دلار کانادا، که امروزه عالی‌ترین افتخار ممکن یک ریاضیدان، و عموماً معادلی برای جایزه نوبل در ریاضیات شناخته می‌شود.

ادوارد ویتن، از محققین پیشرو در حوزه تئوری ریسمان، و گریگوری پرلمان، ریاضیدان برجسته روسی، از دیگر برندگان این جایزه معتبر بوده‌اند.

«افتخار بزرگی است. خوشحال می‌شوم اگر این باعث تشویق زنان جوان دانشمند و ریاضیدان بشود»؛ این را میرزاخانی می‌گوید، و می‌افزاید: «مطمئنم که در سالیان آینده، زنان بسیار بیشتری این‌نوع جایزه را می‌گیرند». آرتور آویلا از کشور برزیل، مانجول بهارگوا (کانادا)، و مارتین هایرر (اتریش)، سه برنده دیگر مدال فیلدز امسال بوده‌اند.

جان هنه‌سی، رئیس دانشگاه استنفورد هم ضمن ابراز خرسندی از انتخاب میرزاخانی، ابراز امیدواری کرده تا چنین دستاوردی الهام‌بخش ریاضیدانان جوان و مشتاق بیشتری باشد.

مریم میرزاخانی، متولد ۱۳۵۶ تهران و دانش‌آموخته رشته ریاضیات محض از دانشگاه‌های شریف و هاروارد، همچنین برنده مدال طلای المپیاد جهانی ریاضیات در سال‌های ۱۹۹۴ (هنگ‌کنگ) و ۱۹۹۵ (کانادا) هم بوده است. در سال ۲۰۱۳ نیز او موفق به دریافت جایزه روث لایتل سَتر(Ruth Lyttle Satter)  از طرف انجمن ریاضیات آمریکا شد؛ جایزه‌ای که هر دو سال یک‌بار، به زنان ریاضیدانی اعطاء می‌شود که طی شش سال گذشته دستاوردهای حائز اهمیتی را برای این رشته به ارمغان داشته‌اند.

میرزاخانی هرچند که در ابتدا رؤیای نویسنده شدن را در سر می‌پرورانده، ولی با گذشت بالغ بر سه دهه، کماکان وجوه مشترکی را بین رمان‌نویسی و تحقیقات کنونی خود در رشته ریاضیات محض می‌بیند. در این رشته هم «شخصیت‌های مختلفی وجود دارند که رفته‌رفته بهتر و بیشتر می‌شناسیشان». این را میرزاخانی می‌گوید و اضافه می‌کند: «اوضاع متحول می‌شود؛ آن‌وقت برمی‌گردی و به یک شخصیت نگاه می‌کنی و [می‌بینی که]با احساس اولیه‌ای که نسبت به آن داشتی، کاملاً فرق می‌کند».

اما چنین تحوّلی، برخلاف تصور عمومی، چه بسا سال‌ها زمان ببرد و درک آن بیش از آن‌که محتاج هوش سرشار باشد، همّتی بلند و صبری مثال‌زدنی می‌طلبد. شاخصه‌هایی که کورتیس مک‌مولن، استاد راهنمای پایان‌نامه دکتری میرزاخانی،  به‌خوبی در میرزاخانی تشخیص داده است.

مک‌مولن کلنجار رفتن با چنین مسائلی را مقوله‌ای حتی متفاوت از حل سؤالات المپیادهای جهانی می‌بیند. «در این‌جور رقابت‌ها، یک‌نفر آمده به‌دقّت مسئله‌ای را به اتفاق راه حلی هوشمندانه طرح کرده است؛ ولی در کار تحقیق، مسأله چه بسا هیچ‌گونه راه حلی نداشته باشد». او استعداد میرزاخانی را، برخلاف بسیاری از برندگان المپیادهای جهانی ریاضی، در این می‌داند که «قابلیت تولید نگاه خودش را دارد».

سال‌های تهران

پیتر کوی، دبیر بخش اقتصادی وب‌سایت Bloomberg Businessweek، در یادداشتی که راجع به اعلام نام میرزاخانی در ردیف برندگان مدال فیلدز ۲۰۱۴ نوشته، عنوان می‌کند که کار میرزاخانی در کسوت یک ریاضیدان برجسته به‌قدری پیشرفته است که حتی ارائه توضیحی سردستی از آن هم گیج‌کننده خواهد بود.

به همین‌واسطه مثالی از مسئله حاصل جمع اعداد ۱ تا ۱۰۰ می‌زند. احتمالاً سرراست‌ترین شیوه‌ این کار همین خواهد بود که اعداد ۱۰۰، ۹۹، ۹۸، ۹۷ و... را مرتباً به هم اضافه کنیم. اما چنانچه الگوی جمعمان را با انتخاب اعدادی از ابتدا و انتهای این بازه برگزینیم، نکته‌ جالبی به چشم خواهد آمد. یعنی ابتدا ۱ را با ۱۰۰ جمع بزنیم، سپس ۹۹ را با ۲، ۹۸ را با ۳، و الی‌آخر؛ که ماحصل جملگی، عدد ۱۰۱ خواهد بود. از آن‌جا هم که در این روش ۵۰ جفت عدد خواهیم داشت، حاصل جمع اعداد ۱ تا ۱۰۰ را به‌راحتی می‌توان با ضرب ۱۰۱ در ۵۰ به دست آورد: ۵۰۵۰.

این نخستین مصداق از جذابیت رهیافت‌های تازه به مسائل ریاضی است که میرزاخانی از سنین کودکی‌اش به خاطر دارد. این رهیافت را کارل فردریش گاوس، ریاضیدان آلمانی سده هجده و نوزده میلادی تدوین کرد و برادر مریم، آن را در مجله‌ای عمومی به وی نشان داده بود: «راه حل‌اش برایم کاملاً افسون‌کننده بود. اولین باری بود که از یک راه حل زیبا لذت می‌بردم؛ اگرچه خودم آن را نمی‌توانستم پیدا کنم».

پایان جنگ ایران و عراق، مصادف شد با ورود میرزاخانی به دوره راهنمایی در مدرسه فرزانگان تهران؛ عاملی که وی آن را فرصتی منحصربه‌فرد می‌داند.» اگر ده سال زودتر به دنیا می‌آمدم، چه بسا فرصت‌هایی که داشتم را هم پیدا نمی‌کردم.»

هفتهٔ اول ورود به مقطع راهنمایی، فرصت آشنایی با رؤیا بهشتی بود؛ همکلاسی که تا همین امروز هم که بر کرسی ریاضیات دانشگاه واشنگتن در سن‌لویی تکیه زده، از دوستان نزدیک میرزاحانی است. «اینکه رفیقی داشته باشی که با تو هم‌علاقه باشد و کمک‌ات کند تا پرانگیزه بمانی، فوق‌العاده ارزشمند است». کتابفروشی‌های خیابان انقلاب، از آن پس مسیر مشترک این دو یار مدرسه‌ای شد. «یادم می‌آید که چقدر پیاده‌روی در این خیابان شلوغ و رفتن به کتابفروشی‌ها برایمان جذابیت داشت. مثل امروز نبود که معمولاً در یک کتابفروشی، کتاب‌ها را مرور می‌کنند؛ به همین خاطر، [ندانسته] کلّی کتاب تصادفی می‌خریدیم... حالا عجیب به نظر می‌آید؛ اما کتاب‌ها خیلی ارزان بود، و به همین خاطر هم راحت می‌خریدیمشان. از زندگینامهٔ ماری کوری و هلن کلر گرفته تا "شور زندگی" ِ ایروینگ استون، که رمانی است راجع به زندگی ونسان ون‌گوگ، نقاش هلندی».

سال اول راهنمایی، سال چندان نویدبخشی برای میرزاخانی نبود و به همین واسطه هم معلم ریاضیات وی استعداد چندانی را در او تشخیص نداد؛ هرچند که میرزاخانی هم‌اینک معتقد است که این نسبت، برعکس است: «خیلی مهم است که بقیه در تو چه ببینند. من علاقه‌ام را به ریاضی از دست دادم». اما معلم ریاضیات سال دوم، اعتماد ازدست‌رفته مریم را به وی بازگرداند؛ تا جایی‌که به‌گفته بهشتی، «از سال دوم، او دیگر یک ستاره شد»؛ ستاره‌ای که در مقایسه با آنچه که بعدها به دست آورد، البته هنوز چندان فروغی نداشت.

با ورود به سال نخست مقطع متوسطه، میرزاخانی و بهشتی چندین روز را صرف تلاش برای حل سؤالات المپیاد ملی ریاضیات آن سال کردند، و در نهایت از شش سؤال، عملاً موفق به حل سه‌تای آن شدند؛ هرچند که فرصت قانونی یک المپیادی برای کلنجار رفتن با چنین سؤالاتی، حداکثر سه ساعت بود. اما برای میرزاخانی، همین کلنجار رفتنی که سال‌ها بعد بعضاً تا بالغ بر ده سال هم ادامه می‌یافت، عاملی شد تا رفته‌رفته ریاضیات را به منزلهٔ علاقهٔ اصلی‌اش بنگرد.

در آن سال‌ها، دبیرستان دخترانهٔ فرزانگان تهران، فاقد کلاس‌های حل مسأله‌ای بود که همزمان در معادل پسرانهٔ این دبیرستان (دبیرستان علامه حلّی) برگزار می‌شد؛ و به همین‌واسطه هم میرزاخانی و بهشتی، از مدیریت مدرسه درخواست کردند تا نسبت به برگزاری کلاس‌های مشابهی اقدام شود: «مدیر مدرسه، شخصیت خیلی محکمی بود. اگر واقعاً قصد داشت کاری بکند، عملی‌اش می‌کرد. تا به آن مقطع، تیم ملی المپیاد ایران، هرگز عضو دختر نداشت؛ و با این‌همه، مدیر وقت دبیرستان دخترانهٔ فرزانگان، خواستهٔ میرزاخانی و بهشتی را به دیدهٔ جدیت نگریست. طرز فکرش خیلی مثبت و خوش‌بینانه بود – این‌که "تو می‌توانی این کار را بکنی؛ ولو هم این‌که اولین باشی". فکر کنم این به طرز قابل توجهی بر زندگی‌ام اثر گذاشت».

یک سال بعد، میرزاخانی و بهشتی هر دو عضو تیم ملّی المپیاد ریاضی ایران بودند؛ همان سالی که نخستین مدال طلای میرزاخانی را هم به ارمغان آورد. سال بعدترش که او موفق به کسب مجدد همین مدال، اما با نمره کامل شده بود، دیگر عملاً به این باور رسیده بود که «باید قدری انرژی و سعی به خرج بدهی تا زیبایی ریاضی را ببینی»؛ و این تازه شروع عمر حرفه‌ای میرزاخانی در کسوت یک ریاضیدان بود.

سال‌های هاروارد

میرزاخانی در سال ۱۳۷۸ شمسی، دوره کارشناسی ریاضیات محض دانشگاه شریف را به پایان برد و با بورسیه دانشگاه هاروارد، روانه ایالات متحده شد:

«وقتی وارد هاروارد شدم، عقبه تحصیلاتی‌ام عمدتاً جبر و ریاضیات ترکیباتی بود. آنالیز مختلط را همیشه دوست داشتم، اما چیز زیادی از آن نمی‌دانستم. حالا که به گذشته نگاه می‌کنم، می‌بینم کاملاً دست‌خالی بودم. مجبور بودم چقدر موضوعاتی را یاد بگیرم که خیلی از دانشجویان مقطع کارشناسی ِ دانشگاه‌های برتر اینجا[ایالات متحده]عملاً آن‌ها را می‌دانند. شروع کردم به شرکت در سمینارهای غیررسمی کورت مک‌مولن. خب بیشتر وقت‌ها حتی نمی‌توانستم از یک کلمه از آن‌چه سخنران می‌گفت هم سر دربیاورم. اما بعضی نقطه‌نظراتی که کورت عنوان می‌کرد را می‌فهمیدم. مسحور این شده بودم که چطور می‌توانست مسائل را به مسائلی ساده و زیبا بدل کند. این‌طور شد که مرتباً از او سؤال می‌کردم، و به سؤالاتی فکر می‌کردم که از همین مباحثات روشنگرانه ناشی می‌شد. تشویق‌های او فوق‌العاده ارزشمند بود. کار با کورت، تأثیر بزرگی روی من داشت؛ گرچه کاشکی بیشتر از او یاد می‌گرفتم.»

مک‌مولن از برندگان مدال فیلدز ۱۹۹۸ است. او میرزاخانی را با تصورات جسورانه‌اش می‌شناسد.«در ذهن‌اش تصویری خیالی از آنچه باید اصولاً در جریان باشد را صورت‌بندی می‌کرد؛ بعد به دفترم می‌آمد و همان را شرح می‌داد. دست آخر رو به من می‌کرد و می‌گفت: "همین‌طوره؟" من هم مدام از این بابت تملّق می‌شنیدم که خیال می‌کرد می‌دانم.»

علاقه میرزاخانی به هندسه ریمانی

میرزاخانی از همان سال‌ها به سطوح ریمان علاقه‌مند شد – سطوحی فرضاً شبیه رویه تایر خودرو، با دو حفره یا بیشتر، که به‌واسطه هندسه‌ غیرمتعارفشان (که به هندسه ریمانی مشهور است)، هر نقطه‌ای از آن‌ها شکلی زین‌مانند دارد.

این سطوح، مصداق روشنی از برساخته‌های انتزاعی جهان ریاضیات هستند. چراکه تصوّر کردنشان در چارچوب هندسه اقلیدسی ممکن نیست. برای تجسم چنین سطوحی نخست باید از طریق مجموعه‌معادلاتی امکان تجسّمشان را فراهم کرد. این معادلات هم حکایت از این دارند که هر سطح تایرمانندی با هر تعداد حفره‌ای، می‌تواند رویه‌هایی هذلولی به بی‌نهایت طریق ممکن اخذ کند – از رویه‌های درشت حلقوی گرفته تا رویه‌های باریک حلقوی، یا آمیزه‌ای از هردویشان.

هم‌هنگام با تحصیل میرزاخانی در هاروارد، برخی سؤالات ساده راجع به چنین سطوحی بی‌جواب مانده بود؛ از جمله نزدیک‌ترین فاصله دو نقطه بر یک رویه هذلولی. این فواصل، که تحت عنوان «خطوط ژئودزیک» شناخته می‌شوند، شامل برخی خطوط باز و مستقیم، و نیز برخی خطوط بسته‌ای می‌شوند که محاط در یک رویه حلقوی‌اند. طبق معادلات حاکم بر سطوح ریمان، تعداد خطوط بسته ژئودزیک با طولی مشخص بر یک رویه هذلولی، به ازای طول این خطوط، به نحو نمایی افزایش پیدا می‌کند. اکثر این خطوط هم پیش از آن‌که بسته شوند، چندین و چند دفعه همدیگر را قطع می‌کنند. اما درصد ناچیزی از آن‌ها – موسوم به «خطوط ژئودزیک ساده» – تداخلی با خود ندارند. همین خطوط ساده، رهگشای درک هندسه سطوح ریمان هستند.

از جمله سؤالات بی‌پاسخ ریاضیدانان نیز تعداد خطوط ژئودزیک ساده‌ای بود که در طولی مشخص از یک رویه هذلولی امکان‌پذیر هستند. از آن‌جاکه احتمال یافتن چنین خطوطی فوق‌العاده پایین است، حل این مسأله و تعیین تعداد دقیق این خطوط هم در هر مقطع دلبخواهی از یک رویه هذلولی طبیعتاً فوق‌العاده دشوار است؛ چراکه درصد خطا را عملاً بایستی به صفر رساند.

میرزاخانی در تز دکترای خود، مربوط به سال ۲۰۰۴، با ارائه فرمولی که تعداد خطوط ژئودزیک ساده به طول L را به ازای افزایش عدد L مشخص می‌کند، نه‌تنها این مسأله را حل کرد، بلکه در همین اثناء، دو سؤال مهم دیگر را هم مدنظر گرفت.

یکی از این سؤالات، فرمول مربوط به حجم فضاهایی موسوم به «فضاهای مدولی» یا «پیمانه‌ای» بود – یعنی حجم مجموع رویه‌های هذلولی‌ای که بر مقطع مشخصی از یک سطح ریمان امکان‌پذیرند. مسأله دوم، مربوط به روش جدید اثبات انگاره‌ای بود که در سال ۱۹۹۱ توسط ادوارد ویتن راجع به محاسبات توپولوژیک مرتبط به فضاهای پیمانه‌ایِ مبتنی بر تئوری ریسمان ارائه شده بود. اولین و تنها اثبات این انگاره تا به آن زمان را ماکسیم کونسویچ، استاد ریاضیات مؤسسه IHÉS فرانسه عرضه کرده بود؛ اقدامی آن‌قدر مهم که به‌تنهایی مدال فیلدز سال ۱۹۹۸ را برای وی به ارمغان آورد. میرزاخانی هر سه‌ این مسائل را در تز دکترای خود به هم ارتباطی منطقی بخشید؛ و از دل همین تز، سه مقاله در سه ژورنال معتبر ریاضی منتشر شد.

بنسون فارب، از ریاضیدانان دانشگاه شیکاگو اعتقاد دارد که بسیاری از ریاضیدانان در طول عمر حرفه‌ای خود هم قادر به حصول چنین دستاوردهایی نیستند؛ و این در حالی است که میرزاخانی در این مقطع، جملگی اقدامات نامبرده را تنها در چارچوب تز دکترای خود عملی کرد.

ماراتن مسأله‌ها

مسائلی که از آن پس ذهن میرزاخانی را مشغول به خود داشت، از جنس مسائلی بودند که تنها با صبر و همتی مثال‌زدنی می‌شد به مصافشان رفت. خصوصیاتی که او نه‌تنها در زندگی حرفه‌ای خود، بلکه در زندگی روزمره‌اش نیز از آن‌ها بهره‌مند است.

یان وندراک، همسر میرزاخانی، به خاطر دارد که در اولین برخوردهایی که در جریان یک مسابقه دوستانه پیاده‌روی با همسر آینده‌ خود داشته، به این ویژگی‌اش پی برده بود.«او خیلی ریزه است، و جثه من نسبتاً خوب بود؛ و با این حساب فکر کردم که از پس ِ کار برمی‌آیم، و اول‌اش هم جلو بودم. منتها سرعت او هیچ‌جور کم نمی‌شد، و بعد از نیم‌ساعت، من دیگر نانداشتم؛ ولی او هنوز داشت با همان سرعت می‌دوید.»

در محیط خانه هم طبیعتاً انتظار شخصیتی آشفته و جدّی از ریاضیدانی مثل میرزاخانی نمی‌رود. «ورق‌های بزرگ کاغذ را روی زمین پهن می‌کند و چندین و چند ساعت می‌نشیند چیزهایی را می‌کشد که از دید من همیشه عین هم‌اند.» این را همسرش می‌گوید و اضافه می‌کند: «این‌که چگونه می‌تواند این‌طور کار کند را نمی‌دانم، اما آخرش جواب می‌دهد.» احتمالاً به این خاطر که، به زعم وندراک، «مسائلی که او دارد رویشان کار می‌کند آنقدر انتزاعی و پیچیده‌اند که نمی‌تواند مراحل منطقیشان را قدم‌به‌قدم طی کند، و عوض‌اش باید جهش‌های بلندی انجام دهد.»

به زعم خود میرزاخانی نیز، حین فکر کردن راجع به یک مسأله دشوار ریاضی، «نمی‌خواهی تمام جزئیات را بنویسی. اما همین‌که چیزی را ترسیم کنی، کمک‌ات می‌کند که به‌نحوی اتصال خودت را [با مسأله] حفظ کنی.» او با خاطر دارد که دختر سه‌ساله‌اش، آناهیتا، بیشتر وقت‌ها غر می‌زند که «مامان باز داره نقاشی می‌کشه»، «شاید خیال می‌کند که من نقاش‌ام».

افزون بر این روحیات، همچنین نباید از نگاه باز میرزاخانی به رهیافت‌های حرفه‌ای‌اش در دنیای ریاضیات هم غافل ماند. حوزه پژوهش وی عمدتاً معطوف به هندسه دیفرانسیل، آنالیز مختلط، و سیستم‌های دینامیکی است. اما او می‌گوید: «دوست دارم مرزهایی که بین حوزه‌های مختلف می‌گذارند را بشکنم – این خیلی سرحال‌کننده است.»

این را هم نباید از خاطر برد که برخلاف مسائل آشنای ریاضی، مسأله‌ای که او مدنظر دارد چه بسا هیچ پاسخی نداشته باشند. این در حالی است که «کلّی ابزار و ادوات وجود دارد، و نمی‌دانی از دست کدامشان کاری ساخته است. همه‌چیز بستگی به این دارد که خوش‌بین باشی و سعی کنی مسائل را هم ربط بدهی.»

از جمله این مسائل، و نیز این ارتباطاتِ بعضاً غیرمنتظره، می‌توان به کار شاخص میرزاخانی در سال ۲۰۰۶ اشاره کرد. مسائل مربوط به تز دکترای وی، به سطوح ریمان صلب مربوط می‌شود؛ اما چنانچه هندسه یک سطح ریمان در طول زمان تغییر کند چطور؟

به‌گفته مک‌مولن، تا پیش از ورود میرزاخانی، «این مسأله غیرقابل بررسی بود». اما میرزاخانی به کمک اثباتی یک‌خطی موفق شد بین همین تئوری فوق‌العاده گنگ، و یک تئوری کاملاً روشن، پل بزند و راهی تازه باز کند.

در همان سال، همچین شروع همکاری میرزاخانی با الکس اسکین، از ریاضیدانان دانشگاه شیکاگو هم رقم خورد؛ کسی که معتقد است حین همکاری با میرزاخانی» احساس می‌کنی که بخت بسیار بیشتری برای حل مسائلی داری که در نگاه اول مأیوس‌کننده به نظر می‌رسیدند.»

همکاری میرزاخانی و اسکین نهایتاً منجر به تصمیم این دو برای ورود به یکی از دشوارترین مسائل حوزه تحقیقشان شد. این مسأله، دامنه‌ای از رفتارهای ممکن یک توپ بیلیارد حین حرکت آزادانه‌اش در یک میز چندضلعی را شامل می‌شود، با فرض بر این‌که مقدار زوایای بین اضلاع، عددی گویا(بر حسب درجه) باشد.

سیستم‌های متشکل از توپ و میز بیلیارد، عملاً ساده‌ترین مصادیق سیستم‌های دینامیکی‌اند. سیستم‌هایی که در طول زمان بر حسب قواعدی مشخص، دچار تطوّر می‌شوند و در همین اثناء، تبیین و پیش‌بینی مسیر توپ هم رفته‌رفته به نحو غیرمنتظره‌ای دشوار و دشوارتر می‌شود.

الکس رایت، پژوهش‌گر مقطع فوق‌دکتری دانشگاه استنفورد، مشخصاً ظاهر ساده‌ این مسأله – یعنی مسأله‌ای مبتنی بر مؤلفه‌هایی به سادگی ِ یک توپ و یک میز بیلیارد – را مدنظر قرار می‌دهد و می‌گوید اولین بار چنین مسائلی یکصد سال پیش و زمانی مطرح شدند که «عده‌ای از فیزیکدانان دور هم نشستند و گفتند: بیا ببینیم رفتار توپ بیلیاردی که در یک میزمثلثی حرکت می‌کند چطور است. احتمالاً آن‌ها فکر می‌کردند مسأله را ظرف یک‌هفته حل می‌کنند؛ اما ۱۰۰ سال بعدش هم هنوز داریم در این‌باره فکر می‌کنیم.»

از آنجاکه قاعده حاکم بر مسیر توپ بیلیاردی که در یک میز X-ضلعی حرکت می‌کند مشخص نیست، برای تبیین مسیر بلندمدت این توپ، ساده‌ترین راه این است که میز را به منزله سطحی تصور کنیم که مدام تغییر شکل می‌دهد. به‌طوری‌که شکل آن در هر لحظه، بر مبنای جملگی مسیرهای ممکن توپ در آن لحظه تعیین می‌شود. ریاضیدانان اصطلاحاً فضای محاط بر چنین میز X-ضلعی و تغییرشکل‌دهنده‌ای (که به نحو غیرمستقیم آبستن جملگی مسیرهای ممکن توپ بیلیارد است) را همان «فضای پیمانه‌ای» می‌نامند.

در این‌صورت سطح هر میزی، به یک رویه انتزاعی بدل می‌شود که ریاضیدانان آن را «رویه انتقالی» (translation surface) می‌نامند. لذا تحلیل سیستم دینامیکی متشکل از توپ و میز بیلیارد، در واقع همان درک فضاهای پیمانه‌ای متشکل از تمام رویه‌های انتقالی است. بر همین مبنا، دامنه تمام مسیرهای ممکن توپ بیلیارد هم در هر لحظه، اصطلاحاً «مدار» رویه‌های انتقالی نامیده می‌شود. پس توضیح مسیر بلندمت توپ بیلیارد یعنی توصیف همین مدارها.

با این‌که صورت‌مسأله ساده به نظر می‌رسد، اما در مقام عمل، مدار یک رویه انتقالی، شکلی فوق‌العاده پیچیده خواهد داشت. در سال ۲۰۰۳، مک‌مولن نشان داده بود که چنانچه رویه انتقالی مدنظر، یک سطح ریمان دوحفره‌ای باشد، تحلیل آن چندان پیچیده نخواهد بود. اقدام مک‌مولن گرچه دستاورد بزرگی محسوب می‌شد، اما او به خاطر دارد که قبل از انتشار گزارش رسمی این یافته، میرزاخانی که هنوز دانشجو بوده، به دفترش آمد و پرسید چرا فقط با دو حفره کار کردی؟ «این شخصیتی است که او دارد» این را مک‌مولن راجع به میرزاخانی می‌گوید و ادامه می‌دهد: «نشانه‌های هرچه را که ببیند، می‌خواهد آن را روشن‌تر بفهمد.»

همین انگیزه‌ای شد تا طی یک دهه بعدی، میرزاخانی به اتفاق اسکین، و همچنین امیر محمدی از دانشگاه آستین تگزاس، امکان تعمیم راهکار مک‌مولن را به سطوح ریمان پیچیده‌تر بررسی کنند و در نهایت طی سال‌های ۲۰۱۲ و ۲۰۱۳ موفق به چنین اقدامی شوند. اقدامی که آنتون زوریش، از دانشگاه پاریس-دیترویت آن را «یک کار افسانه‌ای» می‌نامد.

حتی شخص میرزاخانی هم از این دستاورد هیجان‌زده است. «اگر می‌دانستیم مسائل چقدر پیچیده است، فکر کنم تسلیم می‌شدیم.» با این‌همه وی با تردید اضافه می‌کند: «راست‌اش نمی‌دانم؛ نمی‌دانم؛ من به‌راحتی تسلیم نمی‌شوم.»

راه پیش رو

مریم میرزاخانی، نخستین زنی‌ست که در طول تاریخ ۷۸ ساله مدال فیلدز، به پاس تمام این خط‌شکنی‌ها موفق به کسب چنین افتخاری می‌شود؛ آن‌هم در شرایطی که کمتر زن فعالی را حتی در سطح فعالیت‌های وی می‌توان سراغ گرفت. کسب چنین دستاوردی تحت این شرایط هرچند که به‌تنهایی رشک‌برانگیز است، اما تردیدی نیست که جهان انتزاعی و ذهن زیبای یک ریاضیدان چنین مرزهایی را برنخواهد تابید. تحقیقات میرزاخانی به‌زودی روال سابق‌شان را از سرخواهند گرفت. او هم‌اینک همکاری خود را با الکس رایت آغاز کرده تا فهرستی کامل از انواع حالاتی که مدارهای رویه‌های انتقالی قادر به اشغالشان هستند را تهیه کند.

«ظرافت و درازنای» سؤالاتی که در ریاضی به بحث گذاشته می‌شود، عاملی است که، به گفته میرزاخانی، علاقه‌ وی را کماکان جلب این حوزه‌ی انتزاعی می‌کند. «بیشتر وقت‌ها، کار ریاضی برایم مثل کوه‌پیمایی ِ دور و درازی، بی‌هیچ مسیر پاخورده و بی‌هیچ نهایتی در دیدرس است.»

منابع:

مصاحبه‌ی مؤسسه‌ ریاضیات Clay با مریم میرزاخانی

گزارش مجله‌ی کوانتا از برندگان مدال فیلدز ۲۰۱۴